Chapitre 3 : Calcul littéral (part. 1 : développer)
I. Distributivité simple.
Définition : Développer c'est transformer un produit en une somme ou une différence.
Règle de la distributivité :
Pour tous nombres réels a, b et k, on a :
k(a±b) = ka ± kb
Exemples :
- A = 3(2a + 4)
A = 3 × 2a + 3 × 4
A= 6a + 12
-
B = 3a(2a - 4)
B= 3a × 2a - 3a × 4
B = 6a² - 12a
II. Distributivité Double.
Règle de la double distributivité :
Pour tous nombres a,b,c et d
réels, on a :
(a+b)×(c+d) = a × c + a × d + b × c + b × d
Autrement dit, (a+b)(a+d) = ac + ad +bc + bd
Exemples :
C = (8 + 3d)(d + 7)
C = 8 × d + 8 × 7 + 3d × d + 3d × 7
C = 8d + 56 + 3d² + 21d
C = 3d² + 8d + 21d + 56
C = 3d² + 29d + 56
on utilise la formule de la double distributivité
on simplifie l'écriture
on regroupe les termes de même nature en les ordonnant
on réduit
III. Identités remarquables.
Propriétés : Soient a et b deux nombres relatifs, alors :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b²
Exemples :
- D = (6 + 4a)²
D = 6² + 2 × 6 × 4a + (4a)²
D = 36 +48a + 16a²
- E = (2a - 1)²
E = (2a)² - 2 × 2a × 1 + 1²
E = 4a² - 4a + 1
- F = (7 + 3a)(7 - 3a)
F = 7² - (3a)²
F = 49 - 9a²
Iv. Méthodes de calcul.
iV.a. Le tableau de multiplication.
On doit développer l'expression (3a+7)×(-a-2a²).
-
On place les termes,
avec leur signe, dans le tableau en commençant pas la case en bas à gauche et en remontant
-
Une fois les termes bien placés, on procède au produit des lignes par les colonnes.
-
On fait les calculs.
-
Le résultat du développement est égal à la somme de tous les résultats du tableau.
- On réduit et range les termes par ordre croissant des puissances.
| × | -a | ... |
| +7 | ||
| 3a |
| × | -a | -2a² |
| +7 |
(+7)×(-a) |
(+7)×(-2a²) |
| 3a |
3a×(-a) |
... |
| × | -a | -2a² |
| +7 |
(+7)×(-a) = -7a |
(+7)×(-2a²) = -14a² |
| 3a |
3a×(-a)
= -3a² |
3a×(-2a²)
= -6a³ |
Donc :
(3a+7)×(-a-2a²) = (-7a)+(-14a²)+(-3a²)+(-6a³)
D'où ;
(3a+7)×(-a-2a²) = -7a - 14a² - 3a² -6a³
= -6a³-17a²-7a
IV. b. La multiplication posée.
On doit développer l'expression (3a+7)×(-a-2a²)
-
On place les termes, avec leur signe, dans la multiplication.
- Une fois les termes bien placés, on procède de la même manière que pour une multiplication habituelle.
-
Le résultat du développement est égal à la somme de tous les résultats de la multiplication.
- On réduit et range les termes par ordre croissant des puissances.
| 3a | +7 | |
| × | -a | -2a² |
| 3a | +7 | ||
| × | -a | -2a² | |
|
_______________________________________ |
|||
|
(-2a²×3a = )
... |
(-2a²×(+7) = ) -14a² |
||
| + |
(-a×3a = ) ... |
(-a×(+7) = ) ... |
0 |
| 3a | +7 | ||
| × | -a | -2a² | |
| ___________________________________________ | |||
|
(-2a²×3a = )
-6a³ |
(-2a²×(+7) = ) -14a² |
||
| + |
(-a×3a = ) -3a² |
(-a×(+7) = ) -7a |
0 |
| ____________________________________________ | |||
| -3a² | -6a³ - 7a | -14a² | |
Donc :
(3a+7)×(-a-2a²) = -3a²-6a³ -7a-14a²
D'où ;
(3a+7)×(-a-2a²) = -6a³-17a²-7a
Ce que dit le programme
| Connaissances | Capacités | Commentaires |
|
2.3. Écritures littérales
Identités remarquables. |
- Connaître les identités : (a + b)(a – b) = a² – b² (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² - Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. |
Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l’existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n’est exigée. |