Chapitre 4 : Triangle rectangle
I. L'Égalité de Pythagore.
Énoncé : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, si ABC est un triangle rectangle en A alors :
BC² = AC² + BA².
Exemple du calcul de la longueur de l'hypoténuse :
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6cm et AC = 8cm.
On a alors :
BC² = AC² + BA²
BC² = 8² + 6²
BC² = 64 + 36
BC² = 100
BC = 10
Donc BC = 10cm .
II. Cercle circonscrit.
II.a. Propriétés du triangle rectangle.
Dans cette partie, on sait que le triangle est rectangle.
Propriété : Si ABC est un triangle rectangle en C, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Propriété : Soit un triangle ABC est rectangle en C avec O le milieu de son hypoténuse.
Alors la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit (que l'on nomme CO) est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
II.b. Cercle circonscrit à un triangle rectangle.
Dans cette partie, on ne sait pas si le triangle est rectangle.
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse.
Visualisation :
Si
ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] (l'un de ses côtés).
alors, d'après la propriété,
on a
ABC est rectangle en C et AB est son hypoténuse.
Propriété : Si, dans un triangle, la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté relatif à cette médiane, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.
III. COSINUS D'UN ANGLE AIGU.
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Exemples :
Calculer CA en détaillant (les mesures sont en cm) :
ABC est rectangle en C donc on a :
cos(CÂB) = CA/AB c'est à dire cos(60°)= CA/8cm
Donc CA = 8cm × cos(60°) = 4cm
Ainsi, CA = 4cm
Calculer FÊG en détaillant (les mesures sont en cm) :
FEG est rectangle en F donc on a :
cos(FÊG) = FE/GE c'est à dire cos(FÊG)= 3/6
Donc FÊG = arccos(3/6) = 60°
Ainsi, FÊG = 60°