Chapitre 2 : Théorème de Thalès
I. Homothéties.
Définition : agrandir ou réduire une figure, c'est retracer une figure similaire, obtenue en multipliant toutes les longueurs des côtés de la figure initiale par un même nombre k positif.
Conséquences :
- si 1 < k, on obtient un agrandissement de la figure initiale.
- si 0 < k < 1, on obtient une réduction de la figure initiale.
- si k = 1, on obtient une reproduction de la figure initiale.
k est appelé le rapport de l'homothétie.
Propriété : une homothétie conserve les angles et les rapports de longueurs.
Propriété : une homothétie de rapport k (avec k un nombre relatif non nul) permet de réduire ou d'agrandir une figure à partir d'un point choisi comme centre.
Exemples :
AB'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport 3.
- B et B' (respectivement C et C') sont alignés avec A et du même côté de A.
- Les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
- Pour déterminer les longueurs des côtés du triangle image AB'C', on multiplie les longueurs de ABC correspondantes par la partie numérique du rapport de l'homothétie, soit
3 :
AB' = 3 × AB ; AC' = 3 × AC ; B'C' = 3 × BC.
AB'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport -0,5.
- B et B' (respectivement C et C') sont alignés avec A de part et d'autre de A.
- Les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
- Pour déterminer les longueurs des côtés du triangle image AB'C', on multiplie les longueurs de ABC correspondantes par la partie numérique du rapport de l'homothétie,
soit 0,5 :
AB' = 0,5 × AB ; AC' = 0,5 × AC ; B'C' = 0,5 × BC.
II. Sens direct du théorème de Thalès
II.a. Énoncé du théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\]
1ère configuration de Thalès :
2nde configuration de Thalès :
On l'appelle couramment la "configuration en papillon"
II.b. Application du théorème de Thalès : Trouver la longueur d'un côté.
Énoncé :
Les droites (BM) et (CM) sont sécantes en A et (BC) et (MN) sont parallèles. On donne AM = 8 cm, AB = 10 cm, AN = 6cm et BC = 12 cm.
Donner la longueur de MN.
Dans ces conditions, on peut appliquer le théorème de Thalès pour écrire l'égalité :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\]
En remplaçant par les longueurs données dans l'énoncé :
\[\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{6}{AC}=\frac{MN}{12}\]
Pour trouver la longueur de MN, nous devons nous intéresser à la fraction contenant MN et à celle ne contenant plus aucune longueur inconnue.
De ceci, nous tirons une équation dont MN est l'inconnue :
\[\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{MN}{12}\]
On cherche à isoler MN dans un des deux membres de l'équation, "laissons le seul"dans le membre de droite. Pour cela, utilisons l'égalité des produits croisés :
\[\displaystyle MN \times 10 = 8 \times 12\]
\[\displaystyle MN = \frac{8 \times 12}{10}\]
Donc\[\displaystyle MN = \frac{8 \times 12}{10}=\frac{96}{10}=9,6\]
Donc MN a une longueur de 9,6 cm.
II.c. Application du théorème de Thalès : Montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Énoncé :
Les droites (CN) et (MB) sont sécantes en A. On donne AC = 8 cm ; AN = 3 cm ; AB = 10 cm et AM = 4 cm. Démontrer que (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
On a :
\[\displaystyle \frac{AN}{AC}=\frac{3}{8}=0,375\]
et\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4\]
Donc
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}\neq \frac{AN}{AC}\]
Par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
III. Réciproque du théorème de Thalès
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III.a. Énoncé de la réciproque.
Réciproque du théorème de Thalès :
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès tels que :
- les points A, M et B d’une part et A, N et C d’autre part sont dans le même ordre,
-
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\]
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
III.b.Montrer que deux droites sont parallèles.
Énoncé :
Sur la figure ci-contre, les points A, M, B et A, N, C sont alignés.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après l'énoncé, on sait que :
- A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
-
Calculons
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}~et~\frac{AN}{AC}\]
afin de les comparer :
On a :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{9}{5,4}=\frac{5}{3}~et~\frac{AN}{AC}=\frac{17,5}{105}=\frac{5}{3}\]
.
Donc :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\]
.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.