Chapitre 1 : Arithmétique
I. Division, diviseur.
I.a. Division euclidienne.
Définition : Prenons a et b deux entiers positifs avec b≠0.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver les deux entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que a = b x q + r avec 0 ≤ r < b.
Exemple :
La division euclidienne de 488 par 44 se pose comme dans l'exemple ci-contre :
On a : 488 = 44 x 11 + 4
I.b. Diviseur, multiple.
Définitions : Prenons a et b deux entiers avec b≠0.
On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b) si, lorsque l'on divise a par b, le résultat est un nombre entier.
C'est à dire si a = b x q avec q un entier.
Exemples :
-
24 = 6 x 4
6 et 4 sont des diviseurs de 24.
24 est un multiple de 6 et de 4.
- 81 = 27 x 3 et 81 = 9 x 9
27, 9 et 3 sont des diviseurs de 81.
81 est un multiple de 27, 9 et 3.
I.c. Diviseur commun
Définition : Si deux entiers a et b possède un même entier k pour diviseur, alors on dit que k est un diviseur commun à a et b.
Exemple :
-
56 et 77 ont tous les deux 7 comme diviseur car :
56 = 7 x 8
77 = 7 x 11
7 est donc un diviseur commun à 56 et 77.
- Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les diviseurs communs à 18 et 24 sont les entiers qui appraîssent à la fois dans la liste des diviseurs de 18 et dans celle des diviseurs de 24, soient : 1, 2, 3 et 6.
II. Plus grand diviseur commun à deux nombres
II.a. Notion de PGCD
Définition : Prenons a et b deux entiers. Le plus grand diviseur commun à a et b est appelé le PGCD à a et b (Plus Grand Commun Diviseur).
On le note PGCD(a ; b).
II.b. Algorithmes
-
Algorithme des soustractions successives.
Propriété : Soient a et b deux entiers non nuls avec a ≥ b.
Si a = b, alors PGCD(a ; b) = b,
sinon, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a-b).
Exemple :
Calculer PGCD(84 ; 36).
Suivons les étapes décrite dans l'organigramme ci-dessus.
Cherchons le PGCD de 84 et 36 en utilisant la méthode des soustractions successives.
Sur sa feuille, la présentation sera concise, on aura tendance à n'écrire que les opérations et à résumé cela par un tableau qui suffira pour expliquer sa démarche :
| N° Ligne | a | b | a-b |
| 1 | 84 | 36 |
48 |
| 2 | 48 | 36 | 12 |
| 3 | 36 | 12 | 24 |
| 4 | 24 | 12 | 12 |
| 5 | 12 | 12 | 0 |
On a donc PGCD(84 ; 36) = 12.
Ce que l'on se dit dans sa tête, en s'aidant de l'organigramme :
Début ;
LIGNE 1 DU TABLEAU : 84 et 36 sont nos deux nombres.
→ Sont-ils égaux ? Non.
→ Soustrayons le plus petit de nos deux nombres au plus grand : 84 - 36 = 48
→ Remplaçons le plus grand de nos deux nombres par le résultat de la soustraction, soit 84 par 48.
LIGNE 2 DU TABLEAU : 48 et 36 sont nos deux nouveaux nombres.
→ Ils ne sont pas égaux.
→ Donc effectuons leur soustraction : 48 - 36 =12
→ Remplaçons le plus grand des deux par 12.
LIGNE 3 DU TABLEAU : 36 et 12 sont nos deux nouveaux nombres.
→ Ils ne sont pas égaux.
→ 36 - 12 = 24
→ Remplaçons 36 par 24.
LIGNE 4 DU TABLEAU : 24 et 12 sont nos deux nouveaux nombres.
→ Non.
→ 24 - 12 = 12
→ Remplaçons 24 par 12.
LIGNE 5 DU TABLEAU : 12 et 12 sont nos deux nouveaux nombres.
→ Sont-ils égaux ? Oui !
Le PGCD est donc ce nombre, soit 12.
Fin ;
- Algorithme d'Euclide.
Propriété (admise) : Soient a et b deux entiers non nuls avec a ≥ b.
Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a ; b) = b,
sinon, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), avec r le reste dans la division euclidienne de a par b.
Exemple :
Calculer PGCD(1053 ; 325)
Suivons les étapes décrite dans l'organigramme ci-dessus.
Cherchons le PGCD de 1053 et 325 en utilisant l'algorithme d'Euclide.
De même que pour l'algorithme des soustractions successives, on résumera notre démarche sous forme d'un tableau :
| N° Ligne | a | b | r |
| 1 | 1053 | 325 |
78 |
| 2 |
325 |
78 |
13 |
| 3 | 78 | 13 | 0 |
On a donc PGCD(1053 ; 325) = 12.
Remarque :
Dans tous les tableaux de l'algorithme d'Euclide, on remarquera que, pour toute case, le contenu de la case située en bas à gauche de cette dernière lui sera toujours identique.
Ce que l'on se dit dans sa tête, en s'aidant de l'organigramme :
Début ;
LIGNE 1 DU TABLEAU : 1053 et 325 sont nos deux nombres.
→ Effectuons la division euclidienne de 1053 par 325 : 1053 = 325 x 3 + 78
→ Le reste est nul ? Non, 78 ≠ 0.
→ Remplaçons le plus grand de nos deux nombres (1053 et 325) par 78.
LIGNE 2 DU TABLEAU : 325 et 78 sont nos deux nouveaux nombres.
→ 325 divisé par 78 : 325 = 78 x 4 + 13
→ Non, 13 ≠ 0.
→ Remplaçons 325 par 13.
LIGNE 3 DU TABLEAU : 78 et 13 sont nos deux nouveaux nombres.
→ Effectuons la division euclidienne de 78 par 13 : 78 = 13 x 6 + 0
→ Le reste est nul ? Oui.
Le PGCD de 1053 et 325 est 13.
Fin ;
Pour conserver une trace des organigrammes des algorithmes hors connexion, vous pouvez télécharger le fichier PDF suivant :
III. Nombres premiers, nombres premiers entre eux.
Définition : On dit qu'un nombre est premier lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 11, ou encore 73 sont premiers car ils n'admettent pas d'autres diviseurs que 1 et eux-même.
Remarque :
1 n'est pas un nombre premier.
Définition : Soient a et b deux entiers. On dit que a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Conséquence directe :
Si le PGCD de deux nombres est 1, alors les deux nombres sont premiers entre eux.
Exemples :
- 24 et 12 ne sont pas premiers entre eux car 6 est un diviseur commun.
- 34 et 23 sont-ils premiers entre eux ?
Pour le savoir, calculons leur PGCD.
| N° Ligne | a | b | r |
| 1 | 34 | 23 |
11 |
| 2 |
23 |
11 |
1 |
| 3 | 11 | 1 | 0 |
Donc PGCD(34 ; 23)=1. Ainsi, 34 et 23 sont premiers entre eux.
Conséquence 2 :
1 est premier avec tous les entiers.
IV. Fractions irréductibles.
Définition : Une fraction est dite irréductible lorsqu'elle ne peut pas être simplifiée.
Exemples :
1/3, 2/3, 3/4, 11/7, etc.
Propriété : Si une fraction a son numérateur et son dénominateur premiers entre eux, alors elle est irréductible.
Exemple :
La fraction 16/9 est irréductible car 16 et 9 sont premiers entre eux.
Propriété : Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur alors on obtient une fraction irréductible.
Exemple :
Cherchons à rendre irréductible la fraction 36/24. Pour cela, déterminons PGCD(36 ; 24).
PGCD(36 ; 24) = 12.
Ainsi, 
Ce que dit le programme
