Chapitre 5 : Fractions de nombres relatifs

Règle :

Le quotient de deux nombres relatifs est un nombre relatif qui a :

• Une partie numérique égale au quotient des distances à zéro.
• Un signe déterminé par la règle des signes.

Exemples :

(-3)/6=-1/2

(-5)/(-4)=5/4

Règle :

• Si on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul alors on obtient une fraction égale.
• Soient a,b et k trois nombres avec b et k non nuls :
  

   et 

Exemples :

1. Les fractionsetsont égales car
2. Les fractions etsont égales car

Exemples :

• Réduisons au même dénominateur les fractions  et  :
  
  1. On cherche un dénominateur commun aux deux fractions, soit un multiple de 24 et de 4 :
  24 est multiple commun car 24 × 1 = 24 et  4 × 6 = 24
  
  2. On multiplie chaque fraction de façon à la mettre sur 24 :
  

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction  par 6 : 

  3. Les fractions    et  ont été réduites au même dénominateur.
  
  
  

• Réduisons au même dénominateur les fractions   et  :
  
  1. On cherche un dénominateur commun aux deux fractions, soit un multiple de 15 et de 6 :
  30 est multiple commun car 15 × 2 = 30 et  6 × 5 = 30
  
  2. On multiplie chaque fraction de façon à la mettre sur 30 :
  

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : 

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction  par 5 : 
  3. Les fractions  et ont été réduites au même dénominateur.
  
  
  

• Réduisons au même dénominateur les fractions  et   :
  
  1. On cherche un dénominateur commun aux deux fractions, soit un multiple de 2 et de 3 :
  Lorsqu'il n'y a pas de multiple commun évident, un dénominateur commun évident correspond au produit des deux dénominateurs. Ici, 2 et 3 sont les deux dénominateurs donc 2 × 3 = 6 est le dénominateur commun.
  6 est multiple commun car 3 × 2 = 6 et  2 × 3 = 6
  
  2. On multiplie chaque fraction de façon à la mettre sur 6 :
  

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : 

  On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction  par 3 :

  
  3. Les fractions  et ont été réduites au même dénominateur.

1. On regarde si les fractions sont égales
2. On trouve le signe de la fraction grâce à la règle des signes et on met son signe au numérateur.
3. Si les fractions ne sont pas sur le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.
4. On compare enfin les numérateurs.

Propriété : 

• Si deux nombres en écriture fractionnaires sont égaux alors leurs produits en croix sont égaux.
• Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors ces deux nombres sont égaux.

Règle : 

Pour additionner (resp. soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (resp. soustrait) leur numérateur et on garde le dénominateur.

Règle : 

Pour additionner (resp. soustraire) deux fractions de dénominateur différent, on trouve un multiple commun aux deux dénominateurs puis on réduit au même dénominateur, enfin on applique la règle précédente.

Règle : Le produit de deux fractions de nombres relatifs est un nombre relatif qui a :

• un signe déterminé par la règle des signes.
• une partie numérique obtenue par multiplication des numérateurs entre eux et des dénominateurs entre eux.

Exemples :

• 1/3 × 4/8 = 4/24.
• 3/4 × 4/3 = 1.

Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.

Exemples :

• 1/3 et 3 sont inverses l'un de l'autre car 1/3 × 3 = 1.
• 2 et 0,5 sont inverses l'un de l'autre car 2 × 0,5 = 1.
• 3/4 × 4/3 = 1 donc 3/4 et 4/3 sont inverses l'un de l'autre.

Propriétés : Tout nombre x non nul admet un inverse x ^-1 noté 

Propriété : Tout nombre en écriture fractionnaire  avec a et b non nuls admet un inverse .

Règle : Diviser un nombre par une fraction revient à multiplier ce nombre par l'inverse de la fraction.

Exemples :

• (5/7)/(8/-9) = (5/7) × (-9/8) = - (5 × 9)/(7 × 8) = -45/56
• -7/(-4/11) = -7 × (-11/4) = (7 ×11)/4 = 77/4
• (15/8)/9 = (15/8) × (1/9) = (15 × 1) / (8 × 9)