Chapitre 13 : Le théorème de Thalès
I. Énoncé du théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\]
1ère configuration de Thalès :
II. APPLICATIONs DU THÉORÈME DE THALÈS.
II.A. Trouver la longueur d'un côté.
Énoncé :
Les droites (BM) et (CM) sont sécantes en A et (BC) et (MN) sont parallèles. On donne AM = 8 cm, AB = 10 cm, AN = 6cm et BC = 12 cm.
Donner la longueur de MN.
Dans ces conditions, on peut appliquer le théorème de Thalès pour écrire l'égalité :
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\]
En remplaçant par les longueurs données dans l'énoncé :
\[\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{6}{AC}=\frac{MN}{12}\]
Pour trouver la longueur de MN, nous devons nous intéresser à la fraction contenant MN et à celle ne contenant plus aucune longueur inconnue.
De ceci, nous tirons une équation dont MN est l'inconnue :
\[\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{MN}{12}\]
On cherche à isoler MN dans un des deux membres de l'équation, "laissons le seul"dans le membre de droite. Pour cela, il faut "se débarrasser" du 12 au dénominateur :
\[\displaystyle MN \times 10 = 8 \times 12\]
\[\displaystyle MN = \frac{8 \times 12}{10}\]
Donc\[\displaystyle MN = \frac{8 \times 12}{10}=\frac{96}{10}=9,6\]
Donc MN a une longueur de 9,6 cm.
II.b. Application du théorème de Thalès : Montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
Énoncé :
Les droites (CN) et (MB) sont sécantes en A. On donne AC = 8 cm ; AN = 3 cm ; AB = 10 cm et AM = 4 cm.
Démontrer que (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
On a :
\[\displaystyle \frac{AN}{AC}=\frac{3}{8}=0,375\]
et\[\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4\]
Donc
\[\displaystyle \frac{AM}{AB}\neq \frac{AN}{AC}\]
Par conséquence du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.