chapitre 10 : Pyramides et cônes

    I. Description.

    I.a. Pyramide.

    Définition : Une pyramide est un solide dont :

    • une face est un polygone appelé base de la pyramide.
    • les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet commun, le sommet de la pyramide.
    • la hauteur d'une pyramide est le segment passant par le sommet de la pyramide et qui perpendiculaire à la base.

    I.b. Cône.

    Définition : Un cône de révolution est un solide obtenu par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit. Il possède :

    • une base qui est un disque.
    • une hauteur qui est le segment qui joint perpendiculairement le sommet de la pyramide au centre de la base.

    II. Patron.

    II.a. Pyramide.

    Tracer le patron de la pyramide EFGHA à base carrée telle que AB = 3cm, AE = 5cm et AD = 4cm.

     

    1. On commence par tracer le rectangle de base EFGH qui a pour dimensions EH = EG = 4cm et EF = HG = 3cm.
    2. On trace ensuite les faces latérales triangulaires : 
      On a AEF, AEH triangles rectangles en E et AE = 5cm. 
    3. Pour tracer AFG et AGH on a besoin de la longueur AF = AH que l'on reporte à l'aide du compas.
    4. Il nous reste à tracer AG :
      On utilise le théorème de Pythagore dans AEG rectangle en E :
      AG² = AE² + EG²
      AG² = 5² + EG²
      Or, en appliquant l'égalité de Pythagore dans EFG rectangle en F, EG² = EF² + FG² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
      AG² = 5² + 25
      AG² = 50
      Donc AG = 7,07 cm


    II.b. Cône.

    Tracer le patron du cône SOA de hauteur SO=4cm, de génératrice SA=5cm et de rayon OA=3cm.


    III. Représentation en perspective cavalière.

    III.a. Pyramide.

    III.b. Cône.

    IV. Volumes : pyramide et cône.

    Propriété : Pour calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution, on calcule le tiers du produit de l'aire de la base du solide par sa hauteur :

    Exemple :

     

    1. Calculer le volume d'une pyramide de hauteur 9 cm et de base rectangulaire de largeur 2 cm et de longueur 4 cm.

      Calculons d'abord l'aire de la base : A = 2 × 4 = 8. L'aire est de 8 cm².
      La hauteur est de 9 cm donc : 
      Le volume de la pyramide est donc de 24 cm³.
    2. Calculer le volume d'un cône de hauteur 6 cm et de base ayant un rayon de 15 cm.
      Calculons d'abord l'aire de la base : A = π × 15² = 225π. L'aire est de 225π cm².
      La hauteur est de 6 cm donc : 
      Le volume du cône est donc de 450π cm³.