Chapitre 1 : Le Théorème de Pythagore.
I. Triangle rectangle
Définition : Dans un triangle rectangle, le côté non adjacent à l'angle droit est appelé hypoténuse.
C'est le plus grand des trois côtés du triangle.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A.
BÂC est l’angle droit.
[AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit.
[BC] est l’hypoténuse.
Remarque :
La lettre qui représente le sommet de l'angle droit (ici A) n'apparaît jamais dans le nom de l'hypoténuse (ici [BC]).
Activité 1 : découverte :
Activité 2 : voir d'une autre manière
Consigne : Recouvrez le carré rose à l'aide du carré orange et des pièces découpées issues du carré vert.
II. L'égalité de Pythagore
II.a. Énoncé
Propriété : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
ABC est un triangle rectangle en A on a : BC² = AC² + BA².
Illustration :
La somme des deux volumes de formes "carrés" d'eau issus des côtés de l'angle droit remplie le volume de forme "carré" vide issus de l'hypoténuse.
Entraînez-vous :
Exemple du calcul de la longueur de l'hypoténuse :
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6cm et AC = 8cm.
On a alors :
BC² = AC² + BA²
BC² = 8² + 6²
BC² = 64 + 36
BC² = 100
BC = 10
Donc BC = 10cm .
III. Applications de l'égalité.
III.a. Application : trouver la longueur du troisième côté
Exemple :
Énoncé :
ABC est un triangle rectangle en B avec AB = 5 cm et BC = 12 cm.
Question : trouver la longueur de AC.
Résolution
Démonstration dans le cas de notre énoncé :
On sait que :
- ABC est un triangle rectangle en B.
- AB = 5 cm ; BC = 12 cm
On applique le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
On remplace AB et AC par leur longueur :
AC² = 5² + 12²
On calcule :
AC² = 25 + 144
AC² = 169
On utilise la calculatrice pour trouver le nombre qui, lorsqu'il est élevé au carré donne 169.
AC = √169
AC = 13
Donc la longueur de AC est 13 cm.
III.b. Application : Prouver qu'un triangle est rectangle ou non
Exemples :
- Énoncé :
MNP est un triangle tel que NM = 11 cm, MP = 13 cm et NP = 7 cm.
Question : MNP est-il un triangle rectangle ?
Résolution
On sait que :
- NM = 11 cm ; MP = 13 cm ; NP = 7 cm.
- Si le triangle MNP était rectangle, [MP] serait son hypoténuse car c'est le plus grand des trois côtés.
On applique la réciproque du théorème Pythagore.
On calcule séparément :
- Le plus long côté du triangle est MP, calculons d'une part MP² :
MP² = 13²
MP² = 169
- D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés :
NM² + NP² = 11² + 7²
NM² + NP² = 121 + 49
NM² + NP² = 170
Or 169 ≠ 170.
Ainsi, MP² ≠ NM² + NP² (attention à ne pas oublier les carrés !)
Donc l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, MNP n'est pas un triangle rectangle.
2. Énoncé :
RST est un triangle tel que SR = 0,8 cm, RT = 1,7 cm et ST = 1,5 cm.
Question : RST est-il un triangle rectangle ?
Résolution
On sait que :
- SR = 0,8 cm ;RT = 1,7 cm ; ST = 1,5 cm
- Si le triangle SRT était rectangle, [RT] serait son hypoténuse car c'est le plus grand des trois côtés.
On applique la réciproque du théorème Pythagore.
On calcule séparément :
- Le plus long côté du triangle est RT, calculons d'une part RT² :
RT² = 1,7²
RT²= 2,89
- D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés :
SR² + ST² = 0,8² + 1,5²
SR² + ST² = 0,64 + 2,25
SR² + ST² = 2,89
Or, 2,89 = 2,89
Ainsi, RT² = SR² + ST²
Donc l'égalité de Pythagore est pas vérifiée, RST est un triangle rectangle en S.
III. Racine carrée
Dans certains cas, on ne peut pas déterminer la longueur de l'hypoténuse avec les tables de multiplication que l'on connaît...
Comment déterminer une valeur approchée de la longueur d'un côté dans ces cas là ?
Définition : La racine carrée d’un nombre positif x est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x.
Exemples :
- La racine carrée de 25 est 5 car 5 × 5 = 25.
- La racine carrée de 121 est 11 car 11 × 11 = 121
- La racine carrée de 10000 est 100.
La valeur exacte de la racine carrée de 2 n'est pas connue, on la note √2 et on sait en calculer quelques décimales.
En utilisant la touche racine carrée de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchées des racines carrées non connues.
Exemples :
1. Voyons comment trouver une valeur approchée de √2 l'aide de la calculatrice
La combinaison de touches est la suivante :
Pour les élèves n'ayant jamais vraiment utilisé la calculatrice, voici les étapes détaillées (cliquez pour agrandir les images) :
1.
Touche "2nde"
Afin de pouvoir sélectionner la racine carrée qui se situe au dessus d'une des touches.
2.
Touche "x-1"
Car la racine carrée se situe au dessus de cette touche.
3.
Touche "2"
Car on souhaite obtenir une valeur approchée √2.
4.
Touche "Enter ="
Pour obtenir la valeur exacte de √2 (qui est donc √2 elle même) .
5.
Touche "< >"
Pour obtenir une valeur approchée de √2.
La valeur approchée au centième de √2 est donc de 1,41 (arrondi par défaut).
2. Sur un exemple concret.
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 5cm et AC = 10cm.
On a alors :
BC² = AC² + AB²
BC² = 10² + 5²
BC² = 100² + 25²
BC² = 125
BC= √125
BC ≈ 11
On utilise la calculatrice pour trouver une valeur approchée du résultat arrondie à l'unité (par défaut).
Donc BC≈11cm.