Chapitre 7 : Nombres relatifs
I. Notion de nombres relatifs.
La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens aux VI et VII siècles. Ils naissent des besoins de la comptabilité. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes.
Définition : L'ensemble des nombres relatifs est constitué de l’ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs.
Exemple :
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Euclide vécu vers -300 av J-C.
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La tour Eiffel mesure 324 m.
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La température moyenne en janvier au Nord de l'Alaska est de -25,2°C.
- La profondeur de la fosse océanique de Guam dans l'Océan Pacifique est de -10 900m.
- Monsieur C a un découvert de 150€, soit -150€ sur son compte bancaire.
II. Repérage SUR UNE DROITE.
Exemple :
L'abscisse du point A est 9,5.
L'abscisse du point B est -5.
Le point O est appelé l'origine, son abscisse est 0.
Les points d'abscisses 3 et -3 sont à la même distance du point O.
III. Comparaison de nombres relatifs.
Règle :
1. Lorsque les deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui est le plus éloigné de 0.
Dans la vie courante, plus il fait chaud, plus les températures sont élevées et donc plus on s'éloigne de 0.
Entre 10°C et 35°C, il fait plus chaud à 35°C. Donc 35 > 10.
2. Lorsque un des deux nombres est positif et l'autre négatif, le plus grand est toujours le nombre positif.
Il fait plus chaud à 20°C qu'à -3°C. Donc 20 > -3.
3. Lorsque les deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de 0.
Plus il fait froid, plus les températures sont basses et donc plus on s'éloigne de 0.
Entre -3°C et -30°C, il fait plus chaud à -3°C. Donc -3 > -30.
IV. Additionner des nombres relatifs.
Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif qui a :
- Un signe identique à celui des deux termes.
- Une partie numérique (ou distance à zéro) égale à la somme des parties numériques (ou distances à zéro) des deux termes.
Exemples :
- (+5)+(+4)=(+9)
- Les deux termes sont de signe positif, le résultat est donc positif.
- 5+4=9
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(-1,3)+(-2,7)=(-4)
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Les deux termes sont de signe négatif, le résultat est donc négatif.
-
1,3+2,7=4
Règle : La somme de deux nombres relatifs de signe opposé est un nombre relatif qui a :
- Un signe identique à celui du terme ayant la plus grande partie numérique.
- Une partie numérique (ou distance à zéro) égale à la différence des parties numériques (ou distances à zéro) des deux termes.
Exemples :
- (+5)+(-4)=(+1)
- Les deux termes sont de signe opposé, le résultat est du signe de (+5) car 5>4. Le résultat sera donc positif.
- 5-4=1
- (+1,3)+(-8,3)=(-7)
- Les deux termes sont de signe opposé, le résultat est du signe de (-8,3) car 8,3>1,3. Le résultat sera donc négatif.
- 8,3-1,3=4
Conséquence :
La somme de deux nombres relatifs opposés vaut toujours zéro.
V. Soustraire des nombres relatifs.
Règle : Soustraire un nombre relatif à un second revient à ajouter son opposé.
Exemples :
(+3)-(+14)=(+3)+(-14) (-14) est l'opposé de (+14)
(-6)-(-24)=(-6)+(+24) (+24) est l'opposé de (-24
Application : distance entre deux points.
Propriété : Sur une droite graduée, la distance de deux points est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.