Chapitre 4 : Fractions et décimaux ; droite graduée, égalité, comparaison

I. Introduction : égalité de quotients.

On remarque que colorier 3 rectangles sur 24 rectangles identiques revient à colorier 1 rectangle sur 8 rectangles identiques, soit  du diagramme.

De même, colorier 3 secteurs angulaires sur 24 secteurs angulaires identiques, revient à colorier 1 secteur angulaire sur 8 secteurs angulaires identiques, soit  du diagramme.


Il semblerait que des fractions qui s'écrivent différemment peuvent être égales. 

Propriété : On ne change pas un quotient en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. 

a, b et k sont des nombres avec b non nul et k non nul :

\[\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}\]

et

\[\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}\]

Exemples :

  • \[\displaystyle\frac{5}{4}=\frac{5\times 6}{4\times 6}=\frac{30}{24}\]

  • \[\displaystyle\frac{56}{24}=\frac{56\div 8}{24\div 8}=\frac{7}{3}\]

II. Simplifier des fractions

II.a. Définition.

Définition : Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction qui lui est égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. 

Exemple :

On a vu que la fraction  pouvait aussi s'écrire   . On a bien simplifié   car 1 < 3 et 8 < 24.

 

 

Pour y arriver en toute généralité, on utilisera les critères de divisibilité.

II.b. Critères de divisibilité, multiples, diviseurs.

Définitions :

  • On dira que le nombre entier a est un multiple du nombre entier b s'il existe un nombre entier k qui vérifie :

    \[\displaystyle a = b \times k \]

  • On dira que le nombre entier b non nul, est un diviseur du nombre entier a s'il existe un entier k tel que :

    \[\displaystyle a \div b = k \]

Exemples :

  • 21 est un multiple de 7 car 27 = 7 x 3. Donc 21 est aussi un multiple de 3.
  • 7 est un diviseur de 35 car  et 5 est bien un entier. 

Propriétés :

Un nombre est divisible par :

  • 2 si son chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • 3 lorsque la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3.
  • 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres qui le compose est divisible par 4.
  • 5 si son chiffre des unités est : 0 ou 5.
  • 9 lorsque la somme des chiffres qui le compose est divisible par 9.
  • 10 si son chiffre des unités est 0.
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Méthode pour comparer des fractions :
  1. On regarde si les fractions sont égales
  2. On trouve le signe de la fraction grâce à la règle des signes et on met son signe au numérateur.
  3. Si les fractions ne sont pas sur le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.
  4. On compare enfin les numérateurs.