Chapitre 4 : Symétrie centrale

I. Définition.

Définition : deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsque, en effectuant un demi-tour autour de ce point, les deux figures se superposent.

Ce point est le centre de la symétrie.

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Symétrie centrale
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II.Symétrique d'un point.

Propriété : on considère un point M et un point O.

Le symétrique du point M par rapport au point O est le point M' tel que le point O est le milieu du segment [MM'].


En pratique, comment tracer le symétrique d'un point ?  

?

 

Pour construire A', le symétrique de A par rapport à O :

  1. On trace d'abord la demi-droite [AO).
  2. On reporte, à l'aide du compas, la longueur AO de l'autre côté de O.
  3. Ainsi, on trouve la position de A'.

Remarques :

  • si les points M et M' sont symétriques par rapport au point O, alors le point O est le milieu du segment [MM'].
  • si le point O est le milieu du segment [MM'], alors les points M et M' sont symétriques par rapport au point O.
  • le symétrique du point O par rapport au point O est le point O lui-même.

III. Le symétrique d'un segment, d'une droite.

?

Pour construire le symétrique du segment [ AB] par rapport à O :

  1. On trace le symétrique de A par rapport à O (on le nomme A').
  2. On trace le symétrique de B par rapport à O (on le nomme B').
  3. On trace le segment [A'B'], symétrique de [AB] par rapport à O.

 

 

Le symétrique de (AB) par rapport à O se trace de la même manière.


Propriété : Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur que le segment initial et qui lui est parallèle.

IV. Le symétrique d'un cercle.

?

Pour construire le symétrique d'un cercle de centre C et de rayon r, par rapport à O :

  1. On trace le symétrique de C par rapport à O (on le nomme C').
  2. On trace le cercle de centre C' et de rayon r.

Propriété : Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon que le cercle initial.

Remarque :

Pour tracer le symétrique d'un arc de cercle AB de centre C par rapport à un point O ;

  • on commence par construire C' le symétrique de son centre C.
  • on construire les symétriques A' et B' de ses extrémités A et B.
  • on construire le symétrique D' d'un point D de l'arc.
  • on trace l'arc d'extrémités A'B' passant par D'.